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Stellen wir uns Folgendes vor: Wir würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel n-Mal und notieren jeweils die gewürfelte Augenzahl. Wir erhalten dadurch eine
Folge von n zufälligen Werten zwischen eins und sechs. Das heißt also, daß zwischen all den Werten keine oder nur zufällige Beziehungen existieren.
Dies kann jedoch auch anders sein, wie das folgende Beispiel zeigen soll: Ein Wanderer kommt zu einem Tischler in einem Dorf und bittet ihn um Arbeit. Der
Tischler ist grundsätzlich einverstanden, fragt jedoch nach den Gehaltswünschen des Wanderers. Dieser macht folgenden Vorschlag: Für seine 30-tägige
Arbeitszeit verlangt er am ersten Tag einen Pfennig. Dieses Gehalt verdoppelt sich dann jeden Tag, so daß er am zweiten Tag zwei am Dritten vier, am Vierten
8 Pfennig usw. bekommt. Der Tischler ist zunächst skeptisch, willigt dann jedoch ein. Nach den 30 Tagen verläßt der Wanderer den Ort als reicher Mann und
läßt einen pleiten Tischler zurück. Was ist passiert? Schauen wir und die Tagesgehälter des Wanderers einmal genauer an:
Tag Lohn Tag Lohn Tag Lohn 1 1 11 1024 21 1048576 2 2 12 2048 22 2097152 3 4 13 4096 23 4194304 4 8 14 8192 24 8388608 5 16 15 16384 25 16777216 6 32 16 32768 26 33554432 7 64 17 65536 27 67108864 8 128 18 131072 28 134217728 9 256 19 262144 29 268435456 10 512 20 524288 30 536870912
Wie man sieht, verdient der Wanderer allein am letzten Tag über 5 Millionen Mark. Zurück zu unserer Folge: Im Gegensatz zum Würfeln sind die Werte hier
nicht zufällig, sondern stehen in einem Zusammenhang zueinander. Jeder Wert ist das Zweifache seines Vorgängers. Aus dieses Werten bilden wir nun die Folge
a(n) (Das n wird normalerweise nicht in Klammern geschrieben sondern hinter den gewählten Kleinbuchstaben tiefgestellt geschrieben.).
n wird bei einer Folge als Laufindex festgelegt und ist eine natürliche Zahl. In unserem Beispiel ist der fortlaufende Index der jeweilige Tag, daß heißt, daß dem
Glied a(5) der Lohn des 5. Tages zugewiesen wird.
Um nun zu einer allgemeinen Vorschrift a(n) zu kommen, betrachten wir, wie sich sich die Glieder zusammensetzen.
Das erste Glied soll dabei zunächst einmal ausgelassen werden. Das zweite Glied ist 2. Das dritte Glied ist das doppelte vom Zweiten, also 4, was man jedoch
auch als 2*2 oder 2^2 schreiben kann. Es folgt 8 als 4. Glied, was ebenfalls als 2*4, 2*2*2 oder 2^3. Dieses läßt sich fortsetzen.
Hier noch mal in der Übersicht:
a(2) = 2 = 2^1 a(3) = 4 = 2*2 = 2^2 a(4) = 8 = 4*2 = 2*2*2 = 2^3
Offentsichtlich erhöht sich der Exponent über der 2 bei jedem Glied um eins und ist stets eins kleiner als der Laufindex. Dieses trifft auch auf unser a(1) zu. Hier ist der Laufindex 1 und laut unserer zuvor gewonnen Erkenntnis müßte a(1) gleich 2^(1-1), also 2^0 sein, was in der Tat stimmt, da 2^0 gleich 1 ist. Wir erhalten also als Vorschrift
a(n) = 2^(n-1).
Bei einer Folge geht es immer darum, die Glieder der Folge in Beziehung zum Laufindex zu setzen. Eine Konstante als Vorschrift stellt dabei eine Ausnahme da, da alle Folgeglieder identisch sind. Ein konstante Folge hat folgendes Aussehen:
a(n) = k (k e N).
Eine weitere einfache Folge ist jene der natürlichen Zahlen. Hier entsprechen die Folgeglieder stets dem Laufindex, es gilt also
a(n) = n.
Wir können also eine Folge folgendermaßen definieren:
Eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen heißt eine Zahlenfolge.
Man unterscheidet nun drei (Haupt-) Arten von Folgen:
1. Die arithmetische Folge
2. Die geometrische Folge
3. Die alternierende Folge
d = a(n)-a(n-1) = konstant,
der konstant ist. Umgestellt nach a(n) ergibt dies:
a(n) = a(n-1) + d.
a(n) = (n-1) * d
lauten. Wenn a(1) nicht Null ist, so muß man diesen Wert noch hinzu addieren und kommt auf:
a(n)= a(1) + (n-1) * d,
was die allgemeime Vorschrift ist.
a(n) q = ------ = konstant. a(n-1)
Stellen wir diese Formel nach a(n) um, erhalten wir:
a(n) = a(n-1) * q.
a(2) = a(1) * q a(3) = a(2) * q = a(1) * q * q (a(2) ersetzt) = a(1) * q^2 (zusammengefaßt) a(4) = a(3) * q = a(1) * q^2 * q (a(3) ersetzt) = a(1) * q^3 (zusammengefaßt)
a(n) = a(1) * q^(n-1)
(-1)^n
Eine alternierende Folge könnte demnach so aussehen:
a(n) = (-1)^n * beliebige Folge.
a(n) <= a(n+1) für eine monoton wachsende Folge, oder a(n) >= a(n+1) für eine monoton fallende Folge.
a(n) <= k (k e R), für eine obere Schranke, oder a(n) >= k (k e R), für eine untere Schranke.
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