Fraktale - Regelmäßigkeit im Chaos

5. Mandelbrotmenge und Juliamengen

In den vorhergehenden Abschnitten ging es darum zu zeigen, was Fraktal eigentlich sind. Dieses wurde anhand der Kochkurve und des Sierpinskidreieckes getan. In diesem Kapitel sollen zwei weitere Fraktale bzw. Fraktalgruppen vorgestellt werden. Fraktale wie die Kochkurve enstehen aufgrund einer linearen Transformation, da sie sich stets um einen bestimmten Faktor verkleinern bzw. vergrößern. Interessanter ist jedoch die Beobachtung einer nichtlinearen Transformation wie dem Quadrieren. Dazu nimmt man die Funktion y=x*x wobei jedes y das nächste x ist. So ensteht eine rückgekoppelte Schleife. Wohin die y-Werte streben hängt von einem Wert x0 ab, der als Startwert fungiert. Liegt dieser Wert zwischen 0 und 1 so nähern sich die Werte für y immer der Null. Ist x0 hingegen 1 so bleibt y stets 1. Jeder andere Wert für x0 läßt die Werte für y gegen unendlich streben. Diese Werte gegen die y strebt heißen Attraktoren. Ist das Verhalten mit reellen Zahlen noch vorhersehbar, so ändert sich dies, wenn man x als komplexe Zahl betrachtet. Zusätzlich hat man die Funktion um eine Konstante c erweitert, die ebenfalls eine komplexe Zahl darstellt (y ist demnach ebenfalls komplex).

               y = x*x+c     (x=a+b*i; c=d+e*i)
                 = (a+b*i)*(a+b*i)+d+e*i
                 = a*a+2*a*b*i-b*b+d+e*i
                 = (a*a-b*b+d)+(2*a*b+e)*i

Das interessante bei solchen Funktionen ist, daß die kleinste Änderung von c nach einer bestimmten Anzahl von Durchläufen extrem abweichende Werte liefert, als das vorhergehende c. Deshalb gehen Wissenschaftler auch davon aus, daß ein Flügelschlag einer Fliege in Asien, hier in Deutschland ein Unwetter verursachen kann, da kleinste Veränderungen der Atmosphäre größte Veränderungen nach sich ziehen können. Man stellte nun fest, daß bei bestimmten Startwerten für x0 die Werte für y immer in einem bestimmten Bereich blieben, während sie bei anderen Werten mal schneller, mal langsamer ins Unendliche streben.

5.1 Die Mandelbrotmenge

Bei der Mandelbrotmenge enspricht die Konstante c dem Startwert x0. Um das Ergebnis des Versuches darzustellen, hat man sich entschloßen, die Ergebniswerte in der Gauß'schen Zahlenebene darzustellen. Dabei hat man einen Bereich festgelegt, den die y-Werte nicht überschreiten dürfen. Sollten sie es doch tun, so gelten sie als gegen Unendlich strebend. Bleibt der y-Wert nach einer vorher festgelegten Zahl von Durchläufen (Iterationen) jedoch im vorgegebenen Bereich, so setzt man einen Punkt bei x0 in der Zahlenebene. Das dabei enstehende Gebilde ist die 1979 von Benoit Mandelbrot entdeckte Mandelbrotmenge (Bild 8). Man kann die Darstellung noch verschönern, wenn man bei gegen unendlich strebenden Punkten den Punkt x0 mit einer Farbe markiert, die der Zahl der benötigten Durchläufe bis zum "Ausbruch" darstellt. Auf diese Weise entstehen ansehnliche Grafiken.

Mandelbrot

5.2 Juliamengen

Juliamengen (Bild 9) unterscheiden sich von der Mandelbrotmenge durch die Konstante c, die hier eine vorher festgelegte komplexe Zahl ist. Interessante Werte für c sind die Werte in und um die Mandelbrotmenge. Ansonsten ist das Verfahren analog dem der Mandelbrotmenge.

Juliamenge (Bsp.)

Für x0 werden sowohl bei der Mandelbrot- als auch der Juliamenge alle Werte der Zahlenebene einmal eingesetzt. Die enstehenden Bilder sind jedoch an den Randflächen zwischen den gegen Unendlich strebenden Punkten und dem Rest stets ungenau, da man durch die festgelegte Anzahl von Iterationen nicht mit letzter Sicherheit sagen kann, ob ein Punkt nicht doch noch "ausbricht". Im Übrigen lassen sich Fraktale auch mit anderen Formeln als x*x+c erzeugen. Man muß lediglich eine Funktion wählen und diese dann entsprechend dem Verfahren der Mandelbrot- oder Juliamengen durchlaufen lassen. Beispiele solcher Funktionen sind z.B.:
y=x*x*x/cos(x)+c (c=konst)
y=c*sin(x)/(x*x*x) (c=konst).
Je nachdem ob sie das Mandelbrotverfahren oder das der Juliamengen anwenden, entstehen durch die Konstante c verschiedene Figuren.